ああっ英会話　英語学習帳

thatを省略しないで、
I hope that I can be a better cook.
と丁寧に言っても、もちろん同じ意味です。

（注）この場合のthatは、名詞のかたまり（名詞節）を導く接続詞としてのthatです。「that I can be a better cook」という名詞節が、hope（動詞）の目的語（O）になっています。


I hope「私は望みます」だけでは、何を望んでいるのか分からないので、that以下でその内容を示しているという訳です。

こういった形式の英文の場合、thatを使ったほうが文章がわかり易くなりますので、きちんと相手に伝えたいときなどには、なるべく省略しないで用いたほうが良いと思います。反対に、それほど改まって言う必要の無い場合などは、どんどん省略してしまって構いません。その場の雰囲気に併せて、臨機応変に使い分けてみてください。